Leonardo's Method · Chapter 15 of 15

Notes

INTRODUCTION

1.	Fra Luca Pacioli, Divina proportione, Venice: Paganinus de Paganinus, 1509 (Reprint Vienna: Verlag von Carl Graeser, 1889), p. 33: in compagnia deli perspicacissimi architecti e ingegnieri e di cose nove assidui inventori Leonardo da Venci nostro compatriota Fiorentino qual de scultura getto e pictura con ciascuno il cognome verifica. Commo ladmiranda e stupenda equestre statua. La cui altezza dala cervice a piana terra sonno braccia 12 cioe 37 4/5 tanti dela qui presente ab. e tutta la sua ennea massa alire circa 200000 ascende che di ciascuna loncia communa fia el duodecimo ala felicissima invicta vostra paterna memoria dicata da linvidia di quelle defidia e Prasitele in monte cavallo altutto aliena. Colligiadro de lardente desiderio de nostra salute simulacro nel degno e devoto luogo de corporale e spirituale refectione del sacro templo dele gratie de sua mano penolegiato. Al quale oggi de Apelle Mirone Policreto e glialtri conviene che cedino chiaro el rendano. E non de queste satio alopera inextimabile del moto locale dele percussioni e pesi e dele forze tutte cioe pesi accidentali (havendo gia con tutta diligentia al degno libro de pictura e movimenti humani posto fine) quella con ogni studio al debito fine attende de condurre.
2.	J.-B. Venturi, Essai sur les ouvrages, phisico-math�matiques de Leonard de Vinci, Paris: Chez Duprat, 1797.
3.	E. Solmi, Studi sulla filosofia naturale di Leonardo da Vinci, Mantua: stab. Tip. G. Mondovi, 1905.
4.	Leonardo da Vinci, I libri di meccanica nella ricostruzione di Arturo Uccelli, Milan: Ulrico Hoepli, 1940.
5.	Ladislao Reti, ed., The Unknown Leonardo, London: Hutchinson, 1974, particularly pp. 264-287.
6.	Kenneth D. Keele, Leonardo da Vinci's Elements of the science of man, New York: Academic Press, 1983.
7.	Baldesar Castiglione, The Book of the courtier, trans. George Bull, Harmondsworth: Penguin Books, 1967, p. 149: "Another, one of the world's finest painters despises the art for which he has so rare a talent and has set himself to study philosophy; and in this he has strange notions and fanciful revelations that, if he tried to paint them, for all his skill he couldn't."
8.	Sebastiano Serlio, Il Primo [-secondo] libro d'architettura, Venice: Giovanni Battista et Marchio Sessa, 1544-1568, Bk. II.3. The following is a translation from the first English edition (London: Printed for Robert Peake, 1611), fol. 8^v: Therefore the most notable paynter Leonardus Vinci, was never pleased nor satisfied with anything that he made, bringing but little worke to perfection, saying, the cause thereof was that his hand could not effect the understanding of his mind. And for my part, if I should do as he did, I should not, neither would I suffer any of my works to come forth: for (to say the truth) whatsoever I make or wryte, it pleaseth me not: but (as I sayd in the beginning of my worke) that I had rather exercise in worke that small talent, which it hath pleased God to bestow upon me, then suffer it to lye and rot under the earth without any fruit.
9.	Marie Boas Hall, The Scientific renaissance, 1450-1630, New York: Harper and Row, 1962, p. 30.
10.	David C. Lindberg, Theories of vision from Al-Kindi to Kepler, Chicago: University of Chicago Press, 1976, p. 168: "As Leonardo's various confusions so clearly reveal, the problem of sight was not to be solved through a fresh start by an ingenious empiricist working in an intellectual vacuum."

2. SOURCES AND CONTACTS

11.

Mad. I 12^v: "Dice Giulio aver visto nella Magni[a] una di queste rote essere consumate dal polo m."

12.

CA 370^va (1033^v, c. 1497-1500): "Dello scriver lettere da un paese a un altro Parleransi li omini di rimotissimi paesi d'uno all'altra, e risponderansi."

13.

CA 260^ra (697^r, c. 1508-1510): "Scrivi a Bartolomeo Turco del frusso e refrusso del mar di Ponto, e che intenda se tal frusso e refrusso e nel mar Ircano, over nel mare Caspio."

14.

CA 97^va (266^v, c. 1515-1516): "Vedi Aristotile de cielo e mondo." Cf. 289^vc (785^bv, c. 1487-1490): "Aristotile nel terzo dell'Etica." Estimates concerning the extent of Leonardo's reading have varied enormously. One of the most thorough studies of possible sources remains Solmi as in note 3 above.

15.

CA 183^va (503^r, c. 1517-1518): "e provato nelli elementi d'Euclide."

16.

CA 83^vb (226^v, c. 1508): "Omnis motu mensuratur tempore...in 2 de 8^o fisicae."

17.

CA 221^va (596^r, c. 1517-1518): "e questa regola e nata dalla 14^a e ultima del 2^o delli elementi d'Euclide."

A list of specific references to Euclid's Elements found in the Codex Atlanticus follows:

c. 1500, CA	169^rb (462^ar), 285^vc (776^dr)	5 Postulates, 11 Definitions
c. 1514,	90^va (244^v),	I.1
c. 1515-16,	44^va (122^v)
c. 1517-18,	174^v (476^v)
c. 1500-05,	184^va (506^br)	I.5
c. 1500,	177^vd (483^bv)	I.7
c. 1500,	169^vb (462^bv)	I.12
c. 1500,	169^vc (462^av), (483^br)	I.13
c. 1500,	169^rc (462^br) " " " " " "	I.17 I.18 I.19 I.20
c. 1500,	(776^dv) "	I.21 I.22
c. 1503-05,	203^rb (544^r) " "	I.34 I.43
c. 1500,	184^va (506^ar) " " " " 221^va	I.46 I.47 I.48 II.14, II.15
c. 1508-10,	269^vb, 726^r " "	V.6 V.8

Cf. CA 259^vb (696^v, 1515), where he refers to "una d'Euclide" but cites the second of the common notions, or CA 96^va (264^v, c. 1500) where he states simply "E qui disse Euclide."

18.

B 8^r: "catapulta come dice nonio e plinio," Cf. G 48^v: "Dicie Plinio nel secondo suolibro a 103 capitoli."

19.

BN 2037 7^v (formerly part of Ms. B): "virgilio dicie."

20.

Ibid 8^v: "Lucretio nel terzo delle cose naturale."

21.

B 8^v: "rhomphea...secondo aulo gelio."

22.

Ibid 9^r: "dicie livio nel settimo delaguera cartaginese secondo trovo inuna comedia di plauto...dice flavio."

23.

Ibid 30^v: "dicie lucano ciesare che..." Cf. 41^v: "ciesere ne fa mentione nel secondo delli sua comentarii."

24.

Ibid 41^r: "sicome vuole quintiliano...plinio nel VI libro de naturale istorie...ecome vole varone...secondo lucano nel nono."

25.

Ibid 41^v: "delaqual fa mentione Plutarcho nella vita di graccho."

26.

Ibid 43^r: "ecquesto erma varone festo ponpeo ne testimonia diciendo."

27.

Ibid 45^v: "sechondo amiano marciellino."

28.

E.g. F 27^r: "A Platone si risponde," which begins a commentary on his treatment of regular solids in the Timaeus.

29.

E.g. L 53^v: "Dice vetruvio" or G 54^v: "Vetruvio ne pone uno nella sua opera darchitectura."

30.

M 8^r: "Suisset."

31.

M 11^r: "Tebit."

32.

On CA 203^ra (543^r, c. 1489-1490) Leonardo translates the opening passage of Peckham's Perspectiva communis. For an English translation see the author's Leonardo Studies, Vol. I, Linear Perspective and the Visual Dimensions of Science and Art, Munich: Deutscher Kunstverlag, 1986, p. 56. CA 277^ra (750^r, c. 1513): "E questo solu e bastante alla detta pr[o]va la quale a data nella prespettiva comune eccetera."

33.

E.g. Mad. I 171^v: "Le lettere dell'abbaco da'pesi in su non parlano del peso che ttira le corde anzi di quello che ssi sscarica sopra le gifelle." Cf. BN 2038 8^r: "Onde conquesto che ffacto cholla sperienza. subito poi legiere la lettera dellabaco che tocha dal filo essai la verita delpeso."

34.

E.g. BN 2038 2^v: "dicie il pelachane." Cf. Mad. I 133^v: "Pruova contro al Pellacane."

35.

E.g. Arundel 263 31^v: "Dice batista alberti nuna sua opera mandata al signore malatesta da rimjni come quando la bilanca" or 66^r: "Dice battista albertj nuna sua opera titolata exludis rerum mathematicarum..."

36.

See Ladislao Reti, in Burlington Magazine, London, vol. CX, 1968, pp. 81-89 with supplements in vol. CX, 1968, pp. 406-410, vol. CXI, 1969, p. 91. Cf. Leonardo's list on CA 210^ra, concerning which see Leonardo da Vinci, Scritti letterari, ed. A. Marinoni, Milan: Rizzoli, 1974, pp. 279-257.

37.

CA 225^r. There are other references to Witelo on B 58^r and CA 247^r.

38.

L 2^r. There are a number of other notes of this kind scattered throughout the manuscripts. On BM132^v he refers to [Amerigo] Vespucci giving him a book on geometry. On Forster III 2^v he mentions that "Maestro Stefano Caponi, a physician lives at the piscina and has Euclid's De ponderibus or on Forster III86r he notes that "the heirs of Maestro Ghiringello [a professor at Padua] have the works of Pelacano".

39.

Luca Pacioli, as in note 1, p.33.

3.TREATISES

40.	These dimensions are taken from Richter, as in note 13, vol. 1, pp. 108-109.
41.	Cf. CA 199^v.
42.	On this topic see Nando de Toni, "I rilievi cartografici per Cesena ed Urbino nel manoscritto `L' dell'Istituto di Francia," Lettura Vinciana, No. 5, 15 April 1974, Florence: Giunti 1974.
43.	Carlo Pedretti, Fragments at Windsor Castle, London: Phaidon, 1957.
44.	W 19070^v (K/P 113^r): "fa legare li tua libri dj noa."
45.	Arundel 190^v: "legare il mil libro."
46.	Leonardo Studies I, as in note 32, pp. 57-60.
47.	Forster II 64^r: "Mechanica potissimum in fine incipiendum."
48.	F 94^v: "Libro mio sastende a mostrare come locean colli altri mari fa mediante ilsole splendere il nostro mondo a modo di luna e a piu remoti pare stella ecquesto provo."
49.	F 95^v: "Nonsi puo difinire qui per carestia di carta ma va inverso il principio dellibro ha carta 40 cheli edifinita."
50.	See the author's Leonardo Studies II-III, Continuity and discovery in optics and astronomy, (Munich: Deutscher Kunstverlag) (awaiting funds for publication).
51.	F 13^v: "Volta carta ennota il retrosa accidentale essua govamento."
52.	F 26^v: "Qui si segue la prova di quel che detto nella opposita facca."
53.	F 51^r: "va acarte 59."
54.	E 75^r: "Qui sifiniscice quel che mancha nella terza charta innanti a quessta."
55.	G 44^v: "Ecquesto edisegnato in margine della quarta carta dapiedi."
56.	G 46^r: "Qui seghue quelche mancha disocto arri scontro."
57.	G 46^v: "Leggi in carta 45."
58.	G 51^v: "Va alle 44 charte di quessto."
59.	G 67^r: "Per quel che errischontro dappie e choncluso."
60.	G 75^r: "Qui seguita quelche nella contrapposta carta."
61.	Ibid.: "El subbio e fighurato nella contrapposta faccia."
62.	G 80^r: "Qui si finisscie quel che mancha qui dirieto acquesto lato della charta cioe dappie in margine."
63.	For an analysis of these passages see Leonardo da Vinci Studies I, as in note 32, pp. 257-268.
64.	Forster I 3^r: "Libro titolato de strasformatione, cio� d'un corpo `n un altro sanza diminuizione o acresscimento di materia."
65.	Forster I 3^v: "Principiato da me Leonardo da Vinci addi 12 luglio 1505."
66.	As I plan to present this some day as an independent study I do not document the foregoing paragraphs in detail.
67.	CA 384^ra : "Io dissi nella 7^a conclusione come la percussione."
68.	CA 155^vb: "Guarda nel 7^o del quinto de polo e rota."
69.	CA 2^ra (10^r, c. 1515): Perche sanza la sperienza non si puo dare scienzia vera della potenzia colla qual resiste il ferro trafilato al suo trafilatore, io ho fatto qui da parte queste quattro rote motrici delle vite sanza fine delle quali ciascuna ha a riscontro segnato il numero de'gradi che ha la sua potenzia. Le quali potenzie son vere, com� provato nella 13^a della ventiduesimo delli elementi macchinali da me composti.
70.	CA 287^ra (780^r, c. 1514-1515): "Messer Battista dall `Aquila, camerier segreto del papa, ha il mio libro nelle mani."
71.	Arundel 12^r: "Qui per la 5^a del 7^o, il peso..."
72.	Arundel 25^r: "Come e provato nel 4 della mja prosspectiva."
73.	Arundel 25^v: "Libro 9^e dellacqua de poci permanente e dellacqua fugitiva."
74.	K 30 [29]r: "Sesto libro."
75.	F 35^r: "Libro 42. Delle Pioggie."
76.	F 37^r: "Libro 43. Del moto dellaria inclusa sotto lacqua."
77.	F 66^v: "Principio dellibro."
78.	I 72 [24^v]: "Principio dellibro dellacque."
79.	E 59^v: "Principio di questo libro de pesi."
80.	E 27^v: "Pruovasi per la nona deperchusione cheddicie."
81.	W 19064^r (K/P 157^r): "e per la 5^a de forza e provato quel che dj sopra sicontiene."
82.	W 19061^r (K/P 154^r): "ordine del libro... Adunque quj con 15 figure intere ti sara mosstro la cosmografia del mjnor mondo colmedesimo ordjne che inanzi ame fufatto dattolomeo nella sua cosmografia.."
83.	W 19009^r (K/P 143^r): "Fa chellibro delli elementi machinalicolla sua praticha vada inantj ala djmostratione del moto e forza dellomo e altrj anjmali e medjante quelli tu potrai provare ognj tua propositione."

4. PLANS FOR BOOKS

84.

Mad. I 173^v: "Farai tutto il testo insieme e poi piu oltre lo dividi col suo commento."

85.

CA 117^rc (324^r,c. 1495): "Tratterai prima del peso, poi del moto che partorisce la forza e po'd'essa forza e in ultimo del colpo."

86.

CA 149^rb (403^r, c. 1493-1495):

"Principio della natura de'pesi. La regola del tuo libro proceder� in questa forma :prima l'aste semplice, poi sostenute di sotto, poi sospese in parte, poi tutte, poi esse aste fieno sostenitori d'altri pesi."

87.

K 3^r:

Dividi il trattato delli uccelli in 4 libri il primo sia dellor volare per battimento dalie il secondo del volo sanza batterali e perfavol divento il terzo del volare incomune come ducelli, pipistrelli, pessci, animali, insetti ultimi ultimo dellmoto strumentale.

88.

A list of specific books and propositions cited in Madrid Codex I follows:

1.4	73^v
1.5	87^r, 114^v
1.7	127^v
2.5	65^r, 122^r, 141^r
2.9	144^r
2.20	19^v, 97^r
2.28	153^v
2.penultimate	26^r,148^v
3.5	102^v, 114^v
3.penultimate	121^r
4.3	144^r
4.7	69^v
4.penultimate	153^v
5.3	74^r
5.penultimate	172^v
6.5	26^r, 47^v, 70^r, 118^r
7.5	73^v, 127^v, 139^v
7.60	43^r
9.5	443^r, 73^v, 139^v
9.7	73^v, 143^r

89.

F 41^v:

Aparlare dital materia ti bisognia nel primo libro difinire lanatura della resistentia dellaria nel 2^o lanotomia dello uccello e delle sua penne nel terzo la operation dital penne per diverse moti dasse nel quarto la valitudine de lalie e coda sanza battimento dalie confavore divento aversi a guidare perdiversi moti.

90.

F 90^v: "Ordine dellibro... Poni nel principio cochepofare un fiume."

91.

F 45^v: "Ordine del libro."

92.

E 12^r: "Ordine del primo libro delle aque."

93.

F 87^v:

Scrivi inprima tutta lacqua inciasscuno suo moto dipoi desscrivi tutti lisua fondi elle lor materie senpre al legande le propositioni delle predette acque efia buono ordine altrementi d'opera sarebbe confusa."

94.

CA 79^ra (III 214^br,c. 1505-1506):

Libro delle percussione dell`acqua in diversi obbietti

Scontri dell'acqua inobbietti permanenti di diverse figure che superanol'acqua
Scontri dell'acqua inobbietti immobili coperti dell'acqua
Scontri dell'acqua inobbietti mobili coperti dell'acqua
Scontri dell'acqua inobbietti permanenti che suprano l'acqua
Scontri dell'acqua inobbietti piegabili superati dell'acqua
Scontri dell'acqua nelliobbietti piegabili che superano l'acqua
Scontri dell'acqua nelliobbietti che cadono con moto circulare, come sono le rote dellistrumenti acquatici

Cf. CA 74^vb (III 201^v) for a related list.

95.

CA 74^va (III 201^v,c. 1505-1506):

Delle cose percosse dalle acque
Delle cose che percotano l'acque
Retrosi superfiziali
Retrosi che si leva<n> dal fondo alla superfizie
Retrosi dalla superfizie al fondo
Retrosi che si movan col corso del fiume
Retrosi scambievoli nellilor raggiramenti, come son quelli de'refrussi e frussi de'fi<u>me
Retrosi laterali continui
Retrosi laterali discontinui
Retrosi larghi di sopra e stretti in fondo
Retrosi stretti di sopra e larghi in fondo
Retrosi diritti dal fondo al disopra
Retrosi obbliqui dal fondo al bisopra
Retrosi grandissimi
Retrosi brieve
Retrosi de'bollori
Retrosi a canne
Retrosi a vite
Retrosi vacui e ripien d'aria
Retrosi non vacui

At least some of this material found its way into a manuscript attributed to Leonardo in the Biblioteca Barberini in Rome, entitled Trattato della natura, peso e moto delle acque, e osservazioni sul corso de' fiumi which was published as Del moto e misura dell'acqua, ed. Francesco Cardinali, Bologna: a spese di F. Cardinali, 1826 (Raccolta d'autori italiani che trattano del moto dell'acque, tom. 4).

96.

See, for instance, CA 74^ra,va,vb (201^rv, 1505-1506).

97.

E.g. Arundel 35^rv, 45^r, 122^r.

98.

E.g. Leicester 5^r, 9^r, 15^v. These and a number of the above passages have been translated by Richter, as in note 13, vol. 2, pp. 141-167.

99.

See: Carlo Pedretti, Commentary: The Literary works of Leonardo da Vinci, London: Phaidon, 1977, vol. 2, pp. 140-145.

5. THEMES

100.	F 94^v as in note 48.
101.	I have reconstructed his treatise on cosmology showing where his work on optics, instruments and astronomy fit into this in Leonardo Studies II-III, as in note 50.
102.	CA 361^va (1007^v, c. 1490): "Il vento a similitudine col movimento dell'acqua."
103.	M 83^v: "el notare mostra il modo del volare."
104.	CA 66^rb (186^r, c. 1505): "Il notare sopra dell'acqua insegna alli omini come fanno li uccelli sopra dell'aria." Cf. CA 214^rd (571^ar, c. 1507-1508): "Scrivi del notare sotto l'acqua e arai il volare dell'uccello per l'aria."
105.	E 54^r: Per dare vera scientia del moto delli uccielli infrallaria e neciessario dare prime lasscientia deventi laqual proverren mediante di moti dellacqua insemedesima he equesta tale isscientia sensibile fara di se scala aper venire alla chognitione de volatili infrallaria elvento.
106.	A 55^v: "Adunque se'l corpo della terra non avesse similitudine coll'omo." See Richter, as in note 13, no. 917 for the complete passage.
107.	A 56^r: "Dico che siccome il naturale calore tiene il sangue nelle vene alla sommit� dell'omo... similmente le vene che vanno ramificando per il corpo della terra..." See Richter, as in note 13, no. 969 for the complete passage. Cf. his no. 965 where he cites Arundel 263^v.
108.	CA 260^ra (697^r, c. 1508-1510): � l'attrazione e respirazione dell'aria nelpolmon dell'omo. Ora s'� l'attrazione dell'acqua, che farebbe la terra in 12 ore col frusso e refrusso, ci poterebbe mostrare la grandezza del polmon della terra inquesto modo.
109.	W 19029^r (K/P 71^r): "instrumento mirabile inventionato dalsomo, maesstro."
110.	W 19037^r (K/P 81^v): "Questa figura strumentale dellomo djmonsterremo in <24> figure."
111.	CA 161^ra (434^r, c. 1505): "L'uccello e strumento oprante per legge matematica, il quale strumento � in potesta dell'omo poterlo fare con tutti li sua moti, ma non con tanta potentia."
112.	W 19147-8^r (K/P 22^r): "della terresste macchina al suo cientro."
113.	CA 269^va (727^r, c. 1490): "le vari opinioni... della grandezza de l'orbiculare macchina terreste... o preso ardire creare, over comporre un istrumento, il quale adoperai in questa forma."
114.	CA 252^rb (681^r, c. 1490-1492): "Questa terrestre e mundiale macchina."
115.	A 59^v: "universal macchina della terra." For examples of Leonardo's attempts to treat the four elements in quantitative ways so that they too can fit into his mechanical model see, for instance, CA 79^vb (214^ar, 1505-1506) and CA 72^ra (197^r,1508-1510).
116.	See Leonardo Studies II, as in note 50.
117.	See Leonardo Studies I, as in note 32.
118.	Cf. William A. Emboden, Leonardo da Vinci on plants and gardens, Portland: Dioscorides Press, 1987.
119.	The manuscripts in which arithmetic is discussed are mainly: Forster II, Manuscript L, CA, and Mad. II.
120.	See, for instance, CA 69^ra (189^r, c. 1498).
121.	The main manuscripts with respect to language are: Trivulzianus, H, I and Windsor.
122.	The main manuscripts for literature are H, I, CA and Windsor.
123.	Geometry is found in Forster I, II, Manuscripts A, B, E, G, I, K, M, Arundel, CA and Mad. II.
124.	K 49 [48 et 15]r: "La proportione no solamente nelle numeri emisure fia ritrovata ma etiam nelli suoni, pesi, tempi essiti ecqualunche potentia sicia."
125.	The extent to which Euclid and indeed mathematics generally was important to Leonardo is a matter of considerable debate. For another side see A. Marinoni, La matematica di Leonardo da Vinci, Milan: Arcadia Edizioni (Philips S.P.A.), 1982.
126.	We have already mentioned his treatise on this subject in Forster I. A note on CA 45^va (II 124^v, c. 1515-1516) confirms that he was going to write anew on this topic over a decade after the Forster I: Avendo io finito li conto vari modi di quadrare li circoli, cio� dare quadrati di capacit� equali alla capacit� del circolo e date le regole da procedere in infinito, al presente comincio il libro De ludo geometrico, e d� ancora modo di processo infinito.
127.	CA 130^va(360^r, c.1517-1518) as in note 178.
128.	Cf. Treatise on Painting (Codex Urbinas 1270), trans. A. Philip McMahon, Princeton: Princeton University Press, 1956, vol. II. Facsimile. Quinta Parte. D'ombra e lume.
129.	Ibid., Terza parte. Comincia di vari acidenti et movimenti dell'huomo e prima delle mutationi delle misure dell'huomo, pel movimento delle membre a diversi aspetti. This section is as much inspired by geometry and anatomy as light and shade, however.
130.	Ibid., Quarta parte, De panni.
131.	Ibid., Sesta parte, D'alberi et verdure.
132.	The chief manuscripts for military architecture are CA, B, L, Mad. I, II. Civil and ecclesiastical architecture are chiefly in CA.
133.	The standard work on this topic is Pietro Marani, Architettura fortificata negli studi di Leonardo da Vinci, Florence: Olschki, 1984.
134.	Most of his weapons are in Manuscript B and CA.
135.	Leonardo wrote on the margins of 7 pages of Francesco di Giorgio's Cod. Ash. 361 (Florence, Laurenziana).
136.	Most of Leonardo's machines are in Forst. I (hydraulic), CA and Mad. I.
137.	See note 5.
138.	This is discussed mainly in Manuscript B with drafts in CA and the Turin Codex.
139.	Representation in this sense is much more than an idle pastime. It is man's key to understanding God's action as a creator: a re-creation with glimpses into God's mysteries. Hence painting and science combine to provide Leonardo with a new version of natural theology: a fusion of science and art which shines as an underlying unity through the chaotic surface of his notebooks.
140.	CA 269^va (727^r, c. 1490): avendo io visto infra i matematici speculatori le varie openioni della grandezza de l'orbiculare macchina terreste, ho giudicato ch'essendo infra tanti desputatori tante varie sentenzie, che la certezza della verita sia assai lontana da loro, imper� che, se il vero fussi pervenuto ai lori ingegni tutti sariano d'una medesima sentenzia. E sopra questa tanta diversit� d'openioni ho preso ardire creare ovver comporre uno istrumento in questa forma.
141.	The chief notebooks on mirrors are CA and Arundel.
142.	Clocks are considered in Mad. and CA.
143.	The chief notebooks on balances are Forster II, CA, E, L, and Arundel.
144.	Compasses are considered mainly in B and CA.
145.	CA 321^ra (X 882^r, c. 1493-1495): "Come tutte le rote sono di natura di bilancia."
146.	CA 396^rd (XII 1102^r, c. 1495): "Fa menzione e regola generale sopra il contatto de' poli e di tutti i pesi."
147.	CA 155^vb (421^v, c. 1495-1497): "Parla prima del moto, poi del peso, perch� nasce dal moto; poi della forza che nasce dal peso e moto, po' della percussione che nasce da peso, moto e spesso dalla forza."
148.	CA 267^ra (721^r, c. 1495): "Regola generale del colpo. Regola generale della forza. In queste 2 regole, cio� di colpe e di forza, si pu� adoperare la proporzione che Pittagora us� nella sua musica." Leonardo also compares perspective and music in terms of proportions on A 103^r (BN 2038 23^r, TPL 31).
149.	CA 20^va (66^r, c. 1493-1495): "Per fare regola generale della differenzia ch'� da peso semplice a peso col colpo di diversi moti e forze."
150.	CA 120^vc (330^av, c. 1497-1498): "Si come tu trovi qui regola a diminuire il peso al motore, ancora troverai la regola di crescere il tempo al moto."
151.	Mad. I 152^r. See note 293 below.
152.	CA 151^ra (407^r, c. 1500): Tutte le potenzie naturali hanno, ovver sono da essere dette piramidali, con ci� sia che esse abbino gradi in continua proporzione inverso il suo diminuire, come inverso il loro accrescimento. Vedi il peso, che'n ogni grado del suo discenso, essendo libero, acquista gradi in continua proporzione geometrica. El simile fa la forza nelle lieve.
153.	CA 335^vd (915^br, c. 1503): Molti strumenti si potrebbono allegare i quali in simili cavamenti si sono paragonati colle carette... come si mostra in un mio trattato di moto locale e di forza e peso... e a questa ho ordinato il figurato strumento, del quale quanto sia la sua utilit� e valitudine, le ragioni di quelle assegnate non daranno la sentenzia, le quali sempre fien conferme dalla sperienzia.
154.	CA 271^re (732^cr, c. 1508): "De moto locale... E per la quinta del nono che dice."
155.	CA 81^vb (220^v,c. 1508-1510): Elementi macchinali: Del peso proportionato alla potenzia che'l move s'ha a considerare della resistenzia dove tal peso e mosso, e di questo si far� un trattato.
156.	CA 298^rb (818^r, c. 1495): "Se tu tirarai per la linia bf, il tirare si rende difficile per la quinta del settimo ma per la nona del decimo, tirando per la linia Mb..."
157.	CA 283^vb (771^v, c. 1517-1518): "la qual obbliquit� � difinit� nel'ottavo libro del peso, dove si divide la gravit� accidentale dalla gravit� naturale."
158.	CA 384^ra (1062^r, c. 1493-1495): "Io dissi nella settima conclusione come la percussione."
159.	CA 241^ra (657^ar, c. 1513): Dividesi la percussione in libri de quali nel primo si dimostra la percussione de due corpi, de' quali l'uno move il percussore al percosso immobile; l'altro muove li percussori e li percossi scambievolmente l'un contro all'altro; terzo e delle materie liquide; quarto delli corpi piegabili; quinto...
160.	CA 241^vb (657^v, c. 1513): "El libro dell'impeto va inanti a questo e inanti all'impeto va il moto." Cf. Mad. I 103^r: "Quess[t]a 8^a e allegata nellibro dell'impeto. Adunque quesste figure vanno in esso libro."
161.	CA 374^ra (1043^r, c. 1515): "Come e la concavit� che in se riceve il polo de 'circumvolubili, si debbe provvedere contro alla sua dilatazione. E di questo si tratter� nel libro de confregazione." There is a further reference to this work on Mad. I 121^r under the heading: Della vite e confregazione: Ho mostrato nella penultima del 3^o come tutte le varie quantita delle confregationi che po fare un medesimo peso sopra una medesima natura di resistentia over sostentaculo, essere tutti d'equal fatica al suo motore."
162.	CA 58^ra (151^r, c. 1503-1505): "De 'due cubi i quali son doppi uno all'altro come si prova nel quarto delli Elementi Machinali da me composto."
163.	This optical tradition has been considered in the author's Leonardo Studies II, as in note 50.
164.	Witelo, Vitelonis Thuringopoloni opticae libri decem, Basel: Episcopios 1572, Liber Quintus, 57: Possibile est speculum unum planum in camera propia taliter sisti, ut in ipso videantur ea, quae geruntur in domo alia vel in vicis vel in plateis... quod totum potest fieri per astrolabium sive quadrantem vel aliud instrumentum certificationis visuum.
165.	See, for instance, Jacques Bassentin, Amplification de l'usage de l'astrolabe, ed. J. Focard, Paris, 1551, p. 91: Et pource qu'il n'est pas du tout possible que le sens et la raison puissent bien connoitre le vraye quantit� de l'anglet aigu et variable, par ains8i il seroit tres difficile de naturellement comprendre la certaine quantit� d'une chose, par la science de la perspective seulement. A ceste cause les anciens geometriciens et mesureurs ont invent�s certains instrumens artificiels: et par le moyen d'iceux ont donn� facilement a connoistre les quantitez des choses avec la certitude d'icelles. Mais pource qu'il y ha plusieurs et divers instrumens servans et faits pour cest art comme sont un cadran, un triangle geometrique, taculus Iacob, umbraculum visorium, verge geometrique, horloge manuel, quilindre et autres....
166.	For a discussion of these connections see the author's Sources of perspective, Munich: Saur, 199?
167.	The relevant passages have all been discussed in the author's Leonardo Studies I, as in note 32.
168.	Cf. note 17.
169.	CA 174^v (476^v, c. 1517-1518): "Io voglio della mezza porzione di circolo abcd fare una transmutatione in abd coll'aiuto d'una d'Euclide ne'sua Elementi."
170.	CA 183^rb (502^r, c. 1500): "Io voglio fare d'un circolo infinite variet� di figure curvilinee d'equale capacit�."
171.	CA 141^ra (386^r,c. 1500-1505): "Diminuente equalmente aritmetice l'uno e l'altro extremo di ciascuna proporzione, sempre cresce la proporzione geometrica che prima era."
172.	CA 174^va (475^v, c. 1517-1518): "Ma questa calculazione vole essere geometrica, perch� se la volessi fare per arismetrico, sarebbe impossibile."
173.	CA 120^rd (331^r, c. 1504): "Impara la multiplicazione delle radice de maestro Luca."
174.	CA 159ara-va (428^v, c. 1508): "Col cerchio br farai una regola di radice quadrate insino in venti, e poi con un altro cerchio farai un' altra regola di radice cube insino in venti, e vedrai la differenzia che � dall'una regola all'altra."
175.	CA 102^va (281^r,c. 1517-1518): "Se voli qualunche radice di numero si voglia, questa e la regola."
176.	CA 231^ra (629^ar, c. 1505): "Fanne una grande e vedrai con piu certezza se questa regola e vera."
177.	Ibid.: "La pruova meccanica � vera, bench� con fatica si trovi essa verit�..."
178.	CA 130^va (360^r, c. 1517-1518): Se una regola divide un tutto in parte e un'altra d'esse parte rincompone tal tutto, allora l'una e l'altra regola e valida. Se per cierta scienzia si transforma una superfizie d'una in altra figura, e che la medesima scienzia restituisca tal superfizie nella sua prima figura, allora tal scienzia e valida... Quella scienzia che restituisce la figura nella prima forma da lei variata, ha perfezione.
179.	CA 218^va (587^v, c. 1503-1505): "Qui accade la prova meccanica."
180.	E 8^v: "La mechanicha e il paradiso delle scientie matematiche."
181.	CA 220^vb (593^v, c. 1508): "Geometrica regola."
182.	CA 239vba (627^r, c. 1516): "La prima che è trovata in questa regola. Addi 3 di marzo 1516." Cf. Mad. II 112^r for another example.
183.	CA 103^va (285^r, c. 1515-1516): "E questa regola va in infinito."
184.	E.g. CA 81^vb (220^v, c. 1508-1510): "e cosi ti bisognierebbe procedere inverso lo infinito. Adunque sta bene la regola di prima."
185.	CA 107^va (297^v, c. 1517-1518): "E sopra questa tal diminuzione o accrescimento si dar regola generale, che con precisione verreno a chiara notizia del vero."
186.	E.g. CA 221^vab (596^r, c. 1517-1518): "In questa dimostrazione," refering to a figure.
187.	See note 124. For a discussion of this passage see Ernst Cassirer, The individual and the cosmos in renaissance philosophy, tr. Mario Domandi, New York: Harper and Row, 1963, p. 50 (originally published 1927).
188.	CA 177^rb (483^ar, c. 1508-1510): "E questo si prova nell'ottavo de proportione."
189.	CA 166^vb (454^r, c. 1515): "Regola da sapere la valuta e proporzione di molte parte curvilinie di vari cerchi."
190.	CA 157^vb (425^v,c. 1515): "Sesto proporzionale."
191.	CA 385^ra (1064^r, c. 1513-1514): "Sesto della proporzione."
192.	CA 248^ra (672^r, c. 1513): "Sesto de proporzionalit� in profilo. Sesto di proporzionalit� in faccia; e il suo pole e mobile... Questo vale nelle proporzionalit� inrazionale."
193.	CA 83^va (225^v, c. 1515): "Con questa delli Elementi si pu� dare qualunche proporzione di circolo, cos� inrazionali come razionale."
194.	CA 128^ra (353^r, c. 1508): "Libro d'equazione." Cf. Mad. II 112^r: "Scientia di equiparantia."
195.	E.g. CA 157^rb(425^r, c. 1515): "De trasmutazione di superfizie rettilatere in superfizie curvilinie e de converso." Cf. CA 160^rb (432^r,1515-1516): "De trasmutazione" and CA 167^rb-a (455^r, c. 1515): "De trasmutazione d'equali superfizi rettilinie in varie figure curvilinie, e cos� de converso" or CA 242^rb (660^r, c. 1517-1518): "De trasmutazione delle superfizie."
196.	E.g. CA 184^vc (505^v, c. 1516): "De ludo geometrico" or CA 174^v (476^v, c. 1517-1518): "De ludo geometrico." For a full discussion of this topic see the dissertation by McCabe, as in note 158.
197.	CA 45^va (124^v, c. 1515-1516): Avendo io finito di cont<r>o vari modi di quadrare li circoli, cio� dare quadrati di capacit� equali alla capacit� del circolo e date le regole da procedere in infinito, al presente comincio il libro De ludo geometrico e d� ancora modo di processo infinito.
198.	CA 167^r (455^r, c. 1515): "Trattato de quantit� continua." Cf. Mad. I 0^v: "Libro titolato de quantita e potentia."
199.	CA 139rab (381^r): "Elementi geometrici curvilini."
200.	E.g. CA 303^rb (828^r, 1513-1514): "per una delli Elementi segnasta in margine." Also CA 378vab (1053^r, c. 1513): "una delli Elementi geometrici" which, as Marinoni notes in his new edition of CA corresponds to Euclid I.37.
201.	E.g. CA 374^va (1043^v, c. 1513): "Per la quinta delli Elementi geometrici."
202.	CA 249rba (673^r, 24June 1518): "43 del primo delli Elementi geometrici."
203.	CA 242^rb(660^r, c. 1517-1518): "E la regola di questo si fa coll'aiuto della ultima del secondo delli Elementi geometrici. Per la ultima del secondo delli Elementi geometrici."
204.	CA 170^ra (463^v, c. 1516): Di queste mia superfizie curvilinie molte ne son quadrabile in se medesime colla trasmutazione delle sue propie parte nel suo tutto, e molto ne son che colle sue propie parte sono in quadrabile, ma si da quadrati equali loro, tolti d'altre superfizie. E con queste si compone l'ultima mia opera di cento 13 libri da me composti nella quale � 33 modi variati di dare quadrati rettilini equali a circoli, cio� equali in quantit�.
205.	Cf. Reti as in note 5. See Franz Reuleaux, Theoretische Kinematik. Grundz�ge einer Theorie des Maschinenwesens, Braunschweig: Vieweg, 1875.
206.	See note 82.
207.	See note 152.
208.	See note 83.
209.	Cf. Pierre Duhem, Les origines de la statique, Paris 1905-1906. E.A. Moody and M. Clagett, The medieval science of weights, Madison: University of Wisconsin Press, 1960.
210.	CA 124^ra (342^r, c. 1508): "Elli e provato nel primo De ponderibus."
211.	Cf. CA 118^va (325^v, c. 1508-1510): "per la regola d'Archimede." On CA 153rbc (413^r, n.d.) he has copied out a passage from a manuscript of De insidentibus in humido, concerning which see: Marshall Clagett, "Leonardo da Vinci and the medieval Archimedes," Physics, 1969, p. 141. Cf. also Mad. II 105^rv: "piu vicino al vero che Archimede."
212.	E.g. CA 176^rd(481^v, 1505-1508) where he copies definitions from both Euclid and Theodosius concerning the sphere.
213.	E.g. CA 196^ra (528^r): e similmente e quadrabile la lunola b per Zenofonte or CA 201^vb (540^v, c. 1509): "aro fatto il bisogno di Zenofonte."

6. METHOD

214.

CA 125^ra (345^r, c. 1490-1492): "Io trovo per isperienzia che..."

215.

A 47^r: "La ssperientia farai inquesto mo[do]."

216.

^CA 338^va (924^v, c. 1490): "Sperimento del moto causa del colpo."

217.

CA 151^va (407^v, c. 1500): "Per isperimentare la proporzione delli intervalli del discenso."

218.

D 3^v: "Per fare sperientia come la virtu visiva ricie[v]a le spetie delli obbietti dallochio suo strumento esara fatto una palla di vitro di cinque ottavi dibraccio perdiamitro."

219.

See for instance the following articles by Enzo Maccano:

"Analogies in Leonardo's studies of flow phenomenon", Studi Vinciani in onore di Nando di Toni, Brescia: Ateneo di scienze, lettere ed arti, 1986, pp.19-49.

"Multichannel tabulation in the notes on flow in the French manuscripts on Leonardo da Vinci", Raccolta Vinciana, Milan, vol. 22, 1987, pp.213-237.

"La nocion de presion en la mecanica de fluidos vinciana", Raccolta Vinciana, Milan, vol. 22. 1987, pp.239-263.

In addition Enzo Maccagno has made a series of careful studies analysing the major codices of Leonardo, demonstrating their experimental basis. In chronological order these are:

"Mechanics of fluids in the Madrid Codices", Scientia, Milan, 1982, 99.333-374.

"Hidrostatica vinciana en el Codice Hammer", Anales de la universidade de Chile, Santiago de Chile, 5^ta ser. n.8, agosto 1985, pp71-76.

Leonardian fluid mechanics in the Codex Atlanticus, Iowa: University of Iowa, 1986. (Iowa Institute for Hydraulic Research, Monograph no. 100).

Leonardian fluid mechanics: what remains to be investigated in the Codex Hammer, Iowa: University of Iowa, 1988. (Iowa Institute for Hydraulic Research, Monograph no. 101).

Leonardian fluid mechanics: unexplored flow studies in the Codices Forster, Iowa: University of Iowa, 1988. (Iowa Institute for Hydraulic Research, Monograph no. 102).

Leonardian fluid mechanics in the Manuscript C, Iowa: University of Iowa, 1988. (Iowa Institute for Hydraulic Research, Monograph no. 104).

Leonardian fluid mechanics in the Codex Atlanticus, Iowa: University of Iowa, 1989. (Iowa Institute for Hydraulic Research, Monograph no. 105).

Leonardian fluid mechanics in the Manuscript H, Iowa: University of Iowa, 1988. (Iowa Institute for Hydraulic Research, Monograph no. 106).

Leonardian fluid mechanics: unexplored flow studies in the Codex Arundel, Iowa: University of Iowa, 1989. (Iowa Institute for Hydraulic Research, Monograph no. 107).

Leonardian fluid mechanics in the Manuscript L, Iowa: University of Iowa, 1989. (Iowa Institute for Hydraulic Research, Monograph no. 108).

Cf. Matilde Macagno, Geometry in motion in the manuscripts of Leonardo da Vinci, Iowa: University of Iowa, Division of Mathematical Sciences, Department of Mathematics, 1987.

220.

CA 109^va (303^v, c. 1490): "Fa le proposizione semplice e poi la dimostrazione configure e lettere."

221.

A 31^r: "Io ti richordo chettu facci le tue propositioni echettu alleghi lessopra scritte cose peresenpli e non per propositioni chesarebe tropo senplice edirai chosi."

222.

A 11^r: "questa propositione si pruova perrisperientia."

223.

A 57^r: "Questa propositione si pruova chiaramente... per ragione chonferma dalla issperienza."

224.

A 45^v: "Quessto si pruova perissperientia." Cf. Mad. I 87^v: "Pruova e conclusione ultima di questo tale moto, provato per lo sperimento della bilancia di sopra."

225.

A 13^v: "Propositione... Pruova." Cf. A 15^r.

226.

A 45^v: "La ragione della propositione."

227.

A 46^v: "Questa ragione si vede manifestamente."

228.

A 47^r: "Questa si dimostra chiaramente."

229.

BN 2038 12^v: "la propositione di sopra e molto bene dimostrata e chonferma dalla sperienza"; 15^r: "la ragione promessa di sopra chiara mente apare per isperienza"; 15^v: "Questa...propositione chiara mente apare essiconferma dala esperienza."

230.

Mad. I 77^r, 78^r.

231.

Arundel 263 32^v, 67^v.

232.

Forster II 73^r, 95^r, 97^v, 98^r, 99^r, 99^v, 100^r, 104^r, 120^v, 135^r, 146^r, 147^v, 148^r, 153^v, 154^r.

233.

CA 126^va (348^r,c. 1490-1492):

E se tu dicessi questa non essere bona sperienza, perche l'acqua in se � quantit� unita e continua, e'l miglio � disunito e discontinuo a questa parte io ti rispondo che io vo'pigliare quella licenza che'� comune ai matematici, cio�, siccome loro si dividano il tempo a gradi, e di quantit� continua la fanno discontinua, ancora io faro il simile, dando col miglio o renella comparazione all'acqua.

It is interesting to note that Leonardo sometimes records conditions which are not suitable for experiment as on CA 151^va (407^v, c. 1500):

"E se volessi sperimentare con quantit� continua, nessuna cosa liquefatta con foco non � bona perch� la prima parte si raffreda e sicongela, quando l'ultima e ancora liquida. Se volli fare questa prova, la cerbottana non e bona, perch�..."

On rare occasions he states clearly that he is skeptical as regards a solution as on CA 75^va (205^r, 1506-1508): "Ma di questa non veggo nello umano ingegno modo di darne scienzia."

234.

CA 86^ra (234^r, c. 1490-1492): "La sperienza interpetre della artefiziosa natura ne dimostra questa figura essere per necessit� constretta a non altre menti oprare che qui figurata sia." This idea of interpreters of nature recurs on CA 117^rb (323^r, c. 1490): "E da essere giudicati e non altrimenti stimati li omini, inventori e'nterpreti tra la natura e gli omini."

235.

CA 274^vb (739^v, c. 1495): "Fa che questa figura ritorni nella sperienza, inanzi tu giudichi altro di lei."

236.

F 91^v: "Tutti queste figure anno ausscire dalla ssperientia."

237.

Arundel 19^r: "O fatto pruova io medesimo disegnandole."

238.

Leonardo Studies I, as in note 32, pp. 202-239.

239.

CA 203^va (543^v, c. 1495-1497):

"Ma direno solamente i moti essere di 2 nature, delle quali l'uno e materiale e l'altro spirituale, perche non e compreso dal senso del vedere, overo direno d'uno essere visibile e l'altro invisibile."

240.

CA 93^vb (257^r, c. 1513):

"Dove la scienza de'pesi � ingannata dalla pratica."O trovato essi antichi essersi ingannati in esso giudizio de'pesi, e questo inganno � natoperche in gran parte della loro scienza anno usati poli corporei, e in gran parte polimatematici, cio� mentali, o vero incorporei, le quali inganni pongo qui di socto.

241.

CA 200^r (537^r, c. 1515):

"Dal meccanico punto al matematico e variet� infinit� perch� esso meccanico � visibile e per conseguenza quantita continua e ogni quantit� continua e divisibile in infinito."

242.

E 8^v, as in note 179 above.

243.

These passages have been translated and discussed in the author's Leonardo Studies, vol. 1, as in note 32, p. 223.

244.

CA 221^vd (597^br, c. 1490): "Queste regole sono da usare solamente per ripruova delle figure."

245.

CA 274^rd (738^r, c. 1495): "Io fo molte figure perch� tu conosca tutti i casi, che son sotto posti a una sola regola."

246.

CA 149^rb (403^r, c. 1493-1495): "La regola del tuo libro proceder� in questa forma: prima l'aste semplice, poi sostenute di sotto, poi sospese in parte, poi tutte, poi esse aste fieno sostenitori d'altri pesi."

247.

CA 86^va (234^v, c. 1490-1492): "Regola de'sostentaculi traversi."

248.

CA 119^va (327^v, c. 1490):

Molti mi crederanno ragionevolmente potere (mi) riprendere, allegando le mie prove esser contro all'alturit� d'alquanti omini di gran reverenza apresso de'loro inesperti judizi, non considerando le mie cose esser nate sotto la semplice e mera sperienza, la quale e maestra vera.

Queste regole son cagione di farti conoscere il vero del falso la qual casa fa che li omini si promettano le cose possibili e con piu moderanza, e che tu non ti veli di ignoranza che farebbe che, non avendo effetto, tu t'abbi con disperazione a darti malincolia.

249.

CA 337^rb (922^r, c. 1493-1495): "Effetto delle mie regole... elle tengon la briglia all'ingegneri e investigatori a non lasciare promettere a se medesimo, o ad altri, cose impossibili, e farsi mattu o giuntatore." Cf. 368^rc: "Queste regole fanno le operatori solleciti perch� scoprano e loro errori."

250.

CA 154^rb (417^r, c. 1508-1510): "La sperienza non falla mai, ma sol fallano i vostri giudizi prommettendosi di quella effetto tale che in e nostri experimenti causati non sono."

251.

CA 221^vd (597^br, c. 1490): "e questa regola e nata dalla 14^a e ultima del 2^o delli elementi d'Euclide."

252.

G 42^v : "colla reghola della penultima di pittagora."

253.

CA 153^vd (415^r, 1493-1495): "Pruova e fa regola della differenzia ch� da colpo dato coll'acqua sopra l'acqua, a l'acqua che cade sopra cosa dura."

254.

CA 337^rb (922^r, c. 1493-1495): "Ancora farai regola de'diversi viaggi che fa la ballotta."

255.

Mad. I 51^r: "Fanne sperientia e poi regola."

256.

Mad. I 148^v: "Quella regola che ttu usi a trovare la natura del tirare ancora userai nella natura dello spingere."

257.

CA 271^vb (732^ar, c. 1508): "Regola."

258.

CA 130^va (360^r, c. 1517-1518), as in note 177 above. Cf. another version of this passage on CA 108^rb (IV 300^r, 1517-1518):

Se una regola ti trasmuta la figura d'una superfizie 'n un'altra figura e che la medesima regola restituissi la prima figura a tal superfizie, certo tal regola � perfetta, come si vede a presso alli aritmetrici ne'numeri partiti per un altro numero e poi rimultiplicati per il numero che lo part�, rifaccia il primo numero, eccetera.Come si vede al 4 partire il 12 in 3 parte e rimultiplicar da poi el 4 per 3; rifa il 12.

259.

Mad. I 129^r: "Quando una regola fia conferma da 2 varie ragione e ssperientie quella regola fia allora detta generale."

260.

CA 20^va (66^r, c. 1493-1495): "Per fare regola generale della differenzia ch'� da peso semplice a peso col colpo di diversi moti e forze."

261.

CA 82^rb (222^r, c. 1493-1494):

"Ricordo come tu debbi fare sperienza del reggere, a vero quanto peso po sostenere uno filo di ferro; alla quale sperienza terrai in questo modo... e fa di ciascuna cosa regola generale."

262.

CA 253^va (682^v, c. 1493-1495):

"Regola generale: a sapere una trave legate nello stremo da una corda, che sia da uno solo loco tirata e levata in pi�, e saper dire, in tutti li gradi del suo levarsi, di quanto peso sia al suo motore."

263.

CA 268^va (723^v, c. 1493-1495):

"Regola generale come ogni trave sospesa per li sua stremi da perpendiculari corde, dar� di s� equale peso a ciascuna corda."

264.

CA 155^vb (421^v, c. 1495-1497): "Fammi regola generale di dare occhetto che move ogni rota."

265.

Mad. I 60^r: "Se volle fare regola gienerale infra 2 mobili."

266.

Mad. I 77^r: "Sperimentate ed e regola gienerale."

267.

Mad. I 170^v: "Regola gienerale de'pesi sopra li stremi braci delle bilancie."

268.

Mad. I 171^v: "Questa e gienerale regola."

269.

Mad. I 164^v: "Questa si dimanda pratica, ma ricordati di mettere la teorica dinanzi."

270.

CA 147^va: (398^v, c. 1500): "Nessuno effetto � in natura sanza ragione; intendi la ragione, e non ti bisogna sperienza."

271.

Mad. I 152^v:

"Vedi che mirabil cosa e a considerare [come] questa natura adopera in tutte sue cose e con che legie ell'ha terminato li effetti di tutte le cause i quali e impossibile mutare inalcuna minima parte."

272.

Leonardo Studies I, as in note 32, pp. 56-86.

273.

Kenneth Keele, as in note 6, pp. 43-92.

274.

CA 116^rb (320^r,c. 1495-1498):

Piu lumi con un corpo
Un lume con piu corpi
Piu lumi e piu corpi
Piu lumi sopra un corpo

275.

Leonardo Studies II, as in note 50.

276.

CA 147^va (398^v, c. 1500):

Le nature regulari de'contrapesi, che premiano i bottini sono 9 cioe

Piu larghichel bottino e piu grevi
Piu larghi e piu lieve
Piu larghi ed equali
Piu stretti e piu grevi
Piu stretti e piu levi
Piu stretti ed equali
Equali e piu grevi
Equali e piu lievi
Equali ed equali

Leonardo returns to this problem on F 96 [48]r (1508) under the heading:

Contrapesi regulari dando di loro gravita comparazione allacqua:
piu larghee di materia piu grave
piu larghae piu lieve
piu larghaed equale
piu strettae piu grave
piu strettae piu dieve
piu strettaed equale
equale e piu grave
equale e piu lieve
equale ed equale

277.

See, for instance, H 3^v-4^r (1494) where he declines the verb "amo" systematically. The roots of this approach can be traced back to his long lists of verbs in the Codex Trivulzianus, which appear to be connected with his efforts to learn courtly language. A thorough study of these lists has been made by Augusto Marinoni, Gli appunti grammaticali e lessicali di Leonardo da Vinci, Milan: Castello Sforzesco, 1944, p. 46 etc.

By c. 1497 we find Leonardo making lists of action verbs such as that on CA 213^vb (VII 569^r):

Percotere	Divellere	Dimenarsi	Fregare
Cadere	Diradicare	Levarsi
Saltare	Precipitare	Abassarsi
Gittare	Ruinare	Piegarsi
Battere	Isbalzire	Dirizarsi
Urtare	Disbattere	Torciersi
Spingiere	Sdracciolare	Divincolarsi
Tirare	Scorrere	Treittare
Stracinare	Fugire	Crollare
Rotolare o burlare	Sfuggire	Ristringiersi
Rivolgiere	Deripare	Allargarsi
(Bulare)	Dimostrare	Sgambettare
Movere	Spanarsi	Calcitrare
Correre	Scotersi	Sollevarsi
Sbattere

Shortly afterwards on L 87^v (1497-1502) he makes lists of all different kinds of trees. Here we catch a first glimpse of a more systematic approach in considering the alternatives:

Trees low, tall, sparse, dense with leaves, dark, bright, yellow, red, branching upwards, branching towards the eye, branching below, with white trunks, transparent in air, not transparent in air, those which are narrow, spread out. ("Alberi bassi alti rari spessi cioe difoglie scuri ciari ciali rossi ramifichati in su chidirita all ochio che ingiu gambi bianchi a chistra par laria alcinno chietrito di poste, chieraro.")

I am suggesting that his study of language and particularly the systematic grammatical treatment of conjugations was one of the early incentives in provoking Leonardo to think in terms of listing variables and their possible combinations. Yet the idea of a fully systematic approach emerges in his perspectival studies as has been shown in Leonardo Studies I and is first evident in tabular form as in a list of weights in CA 152^vb (410^v, c. 1490-1495), where balances are shown corresponding to each of the fractions 1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 0/0. In short, it was his conviction of some underlying mathematical regularity that changed his habit of exhaustive list making into the beginnings of a systematic programme for understanding nature, now frequently thought of as Baconian science.

278.

Leon Battista Alberti, Ludi matematici, ed. S. Timpanaro, Florence: 1926. Cf. Luigi Vagnetti, "Considerazioni sui Ludi Matematici," Studi e documenti di architettura, Florence: Teorema Edizioni, n. 1, 1972, pp. 175-259.

279.

Arundel 66^r: "Dice batissta albertj nuna sua opera titolata ex ludis rerum mathematicarum che quando la bilancia."

280.

CA 99^vb (273^br, c. 1515): "De ludo geometrico, nel quale si d� il processo l'infinite variet� [di] quadrature di superfizie dilati curvi."

281.

Arundel 154^r:

la piramide astesa a una data lunghezza
la piramide acortata a una data bassezza
della piramidesi facci il cubo
del cubo si facci la piramide sua
del cubo si facci la piramide a una data altezza
duna data altezza di piramide se ne facci il cubo

duna piramidesi facci una tavola duna data grossezza
duna piramidesi facci la tavola di data larghezza
duna piramidesi facci la tavola di data larghezza e lunghezza

282.

^CA 246^vb (667^vb, c. 1505-1506): "Accortare, Allungare, Ingrossare, Assottigliare, Allargare, Restringere."

283.

CA 246^vb (VIII 667^v, 1505-1506): Trasmutatione semplice

racortisi	a una	data	distantia	sanza mutatione	di larghezza quanto singrossa
racortisi	a una	data	lunghezza	sanza mutatione	di grossezza quanto salarghera
allunghisi	a	data	lunghezza	sanza diminutione	di larghezza quanto sasottigliera
allunghisi	a	data	lunghezza	sanza diminutione	di lunghezza quanto sallargera
ingrossisi	a	data	grossezza	sanza mutatione	di larghezza quanto s'accortera
ingrossisi	a	data	grossezza	sanza diminutione	di lunghezza quanto si ristrignera
assottiglisi	a	data	grossezza	sanza crescer	di larghezza quanto si distendera
assottiglisi	a	data	grossezza	sanza astensione	di lunghezza quanto s'allargera
allarghisi	a	data	larghezza	sanza mutatione	di grossezza quanto racortera
allarghisi	a	data	larghezza	sanza mutatione	di lunghezza quanto ingrossira
risstringhisi	a	data	larghezza	sanza mutatione	di grossezza quanto s'alunghera
risstringhisi	a	data	larghezza	sanza mutatione	di lunghezza quanto s'ingrossera

284.

CA 246^vb (VIII 667^v, c. 1505-1506): De trasmutazion composite

Raccortisie ristringasia dati termini :quanto s'ingrossera
Raccortisie allarghisia dati termini :quanto ingrossera o assotigliera

Ristringasie assottiglisia dati termino :quanto s'allungher�
Ristringasie ingrossisia dati termini :che far� la lunghezza

Allunghisie allarghisia dati termini :quanto s'assottiglier�
Allunghisie restringasia dati termini :quanto s'assottiglier� oingrossera

Allarghisie assottiglisia dati termini :che far� da sua lunghezza
Allarghisie ingrossisia dati termini :quanto si raccorter�

<Ingrossisi>e raccortisi a dati termini :quanto <s'>allarghera o ristrignera
<Ingrossisie allar>ghisia dati termini :quanto s'accorter�
<Ingrossisie allar>ghisia dati termini :che mutazione ara la lunghezza

285.

When Leonardo crosses something out, it means he has developed it somewhere else, frequently in a different manuscript.

286.

Forster I 12^r-11^v:

1. accortae non mutare grosseza quanto s'allarga
2. accortae non mutare largheza quanto s'ingrossa

3. allungae non mutare grosseza quanto si restrigne
4. allungae non mutare largheza quanto s'asottiglia

5. ingrossa e non mutare lungheza quanto si sstrigne
6. ingrossa e non mutare largheza quanto si racorta

7. assottiglia e non mutare lungheza quanto s'allarga
8. assottiglia e non mutare largehza quanto s'allunga

9. allargae non mutare lungheza quanto s'asottiglia
10. allargae non mutare grosseza quanto si racorta

11. resstrigni e non mutare lungheza quanto s'ingrossa
12. restrigni e non mutare grosseza per quanto s'alunga

13. acortisi e ingrossisi quanto s'allarga
14. acortisi e assottiglisi quanto allarga
15. acortisi e allarghisi qual fia la grossezza
16. acortisi e restringasi quanto s'ingrossa

17. allunghisi e ingrossisi quanto si restrigne
18. allunghisi e assottiglisi quanto s'allarga
19. allunghisi e allarghisi quanto s'assottiglia
20. allunghisi e resstringasi quanto s'ingrossa
21. ingrossisi e allarghisi quanto s'acorta
22. ingrossisi e restringasi quanto s'alunga
23. assottiglisi e alarghisi quanto s'alunga
24. assottiglisi e restringasi quanto s'allunga
25. ingrossisi e alunghi quanto restrigne
26. ingrossisi e acortisi quanto s'allarga
27. assottiglisi e alunghisi quanto restrigne
28. assottiglisi e acortisi quanto s'alarga

287.

See, for instance, James Edward McCabe, Leonardo da Vinci's De ludo geometrico, (Ph.D., University of California at Los Angeles), 1972.

288.

CA 136^ra:

Saette e corde equali anno equali archi
Saette e archi equali anno equali corde
Corde e saette equali anno equali archi
Corde e archi equali anno equali saette
Archi e saette equali anno equali corde
Archi e corde equali anno equali saette

There is a related list on CA 242^vb (660^v, 1517-1518) where he also abbreviates the terms saette corda and archo as sa, cor, ar in the following form:

sa cor
sa ar
-----------
cor sa
cor ar
-----------
ar sa
ar cor

289.

See Ladislao Reti, as in note 5, p.

290.

See Keele, pp. 93-130 and the author's Leonardo Studies II as in note 50.

291.

Ibid.

292.

Mad. I152^r:

"Io mi trovo 4 gradi di forza e 4 dipeso e similmente 4 gradi di moto e 4 ditempo. E voglio con questi gradi adoperare e secondo le necessita agiungere o llevare colla imaginatione e trovare quello che natura insua legge ne vole."

293.

Ibid:

2 di pesoe 4 di forza e 4 di moto vole 2 di tempo
2 di pesoe 2 di forza e 4 di moto vol 4 di tempo
2 di pesoe 2 di forza e 2 di moto vol 2 di tempo

2 di forzae 4 di peso e 4 di moto vol 8 di tempo
2 di forzae 2 di peso e 4 di moto vol 4 di tempo
2 di forzae 2 di peso e 2 di moto vol 2 di tempo

2 di motoe 4 di forza e 4 di peso vol 2 di tempo
2 di motoe 2 di forza e 4 di peso vol 4 di tempo
2 di motoe 2 di forza e 2 di peso vol 2 di tempo

2 di tempoe 4 di forza e 4 di peso vol 2 di moto
2 di tempoe 2 di forza e 4 di peso vol 1 di moto
2 di tempoe 2 di forza e 2 di peso vol 2 di moto

1 di forzae 4 di peso e 4 di moto vol 16 di tempo
1 di tempoe 4 di moto e 4 di peso vol 16 di forza
1 di motoe 4 di peso e 4 di forza vol 1 di tempo
1 di pesoe 4 di moto e 4 di forza vol 1 di tempo

294.

CA 212^vb (565^v, c. 1502-1504):

Se una potenzia move un grave una quantit� di spazio in tanto tempo, la medesima potenzia mover� la met� di quel grave 2 tanti quello spazio nel medesimo tempo tutto.Ovvero essa intera potenzia tutto quel grave nel mezzo tempo la met� ditale spazio; ovvero nella met� dello spazio, della intera potenzia e tempo dui tanti quel grave; overo l'intera potenzia nella met� del temp<o>, tutto quel peso nella met� di quello spazio.

295.

CA 212^vb (565^v, c. 1502-1504):

pg t s
pg t s
pg t s
pg t s2
tg p

296.

CA 355^va (982^v, c. 1503-1505):

p g t s2 p g t s

p g t s p g t2 s

p g t s p g t s

p g t s p g t

297.

CA 165^va (V 449^r, c. 1500-1503):

De semplici e composi
Retto, curvo e retto
Curvo, retto e curvo
Curvo e retto, retto
Retto e curvo, curvo
De composti
Curvo e retto, retto e curvo
Curvo e curvo, retto e retto
Retto e retto, curvo e curvo
Curvo e curvo, curvo e curvo
Retto e retto, retto e retto

For a related list see: CA 98^rb (III 269^r, c. 1500):

E moti composti sono:
retto curvo e retto
curvo retto e curvo
curvo e retto retto
retto e curvo curv<o>

Cf. Madrid I 131^v (1499-1500): "Divisione del moto naturale"

Senplicenaturale
Senpliceacidentale
Senpliceneutrale

Senplicecirculare d'equidiacente moto
Senplicecirculare d'equidiacente polo
Senplicecirculare neutrale

Flessuoso rettilineo
Flessuoso curvilinio

Angulare rettilinio
Angulare curvilinio

Moticompossti
Naturale circulare
Accidentale circulare
Neutrale circulare

Naturale flessuosorettilinio e curvilinio
Naturale flessuosocurvilinio e rettilinio
Naturale fressuosorettilinio e curvilinio

Circulare flessuoso curvilinio d'equidiacente moto
Circulare flessuoso rettilinio d'equidiacente polo
Circulare flessuoso neutrale

Circulare naturale e fressuoso rettilinio
Circulare acidentalee fflesuoso

Angolorettilinio flessuoso
Angolocurvilinio e fflessuoso

298.

CA 193^rb (VI 525^r, c. 1500):

Mobile duro con piano duro
Mobile tenero con piano tenero
Mobile duro con piano tenero
Mobile tenero con piano duro

Mobile aspro con piano pulito
Mobile polito con piano aspro
Mobile aspro con piano aspro
Mobile polito con piano aspro

He considers these problems in a different form on CA 198^va (VI 532^v, 1506-1508):

Sono le confregazioni de'corpi de 4 sorte, delle quali
La prima � quando due corpi sono puliti e piani, come qui � proposto

La seconda � quando il corpo stracinato e'l piano dove si move, � aspro
La terza � quando il corpo stracinato � aspro e'l piano ove simove, � polito

Il quarto modo � quando il corpo stracinato e'l piano dove si stracina � aspro

299.

CA 74^vb (III 201^v, c. 1505-1506):

Scontri d'acquaequali in potenzia e in quantita
Scontri d'acquaequali in potenzia e none in quantita
Scontri d'acquaequali in quantita e none in potenzia
Scontri d'acquainequali in potenziae in quantita

300.

CA 65^va (III 183^v, c. 1508):

Della percussione del raro nel raro
Della percussione del raro nel denso
Della percussione del denso nel raro
Della percussione del denso nel denso

301.

W 19141^v (K/P 99^v): "Io o per istrumenti dj questo 4� libro a mannegiare 6 cose coe polo, subbio, lieva, corda, peso e motore."

302.

Ibid.: "Travagliamento e natura de membri apartenenti allusito dellargano."

303.

Ibid.:

dato il polosubbio lieva corda e peso si ricercha il motore
dato il subbio lieva corda peso e motore il polo
dato il lievacorda peso motore e polo subbio
dato il cordapeso motore polo e subbio lieva
dato il pesomotore polo subbio e lieva corda
dato il motore polo subbio lieva e corda peso

304.

Ibid.:

dato la lieva e contralieva polo el peso si ricercha il motore
dato la contralieva polo peso e motore la lieva
dato il polo peso motore e llieva ___________ la contralieva
dato il peso motore lieva e contralieva ___________ il polo
dato il motore lieva contralieva el polo ___________ il peso

Leonardo had, of course, begun examining these problems much earlier. See, for instance, his comments on A 62^r (1492).

305.

W 19143^r (K/P 101^r):

Discretion de membri della vite ellor travagliamenti
Dato la vite dente numero lieva peso si cerche il motore
Dato il dente numero lieva peso elmotore la vite
Dato il numero lieva peso motore e vite dente
Dato la lieva peso motore vite e dente numero
Dato el peso motore vite dente numero lieva
Dato el motore vite dente numero lieva peso

On CA 381^rb (1480-1482) we find another earlier example of his systematic approach with respect to screws:

Per fare pruova della forza delle viti
Un pane alla femmina e farai pruova con 2 e con 3 e con 4 e 5 e 6 e col medesimo peso e lieva, e attendi alla variazione, E farai pruova se la vite di sotto abbrevia il tempo o no col pari pane alle femmine dell'una che della altra, e cosi si vuole fare pruova d'ogni ragion vite, cio� in 2 doppi, in 3 in 4, in 5, in 6.

306.

Ibid.: Esercitatione e natura membri delle taglie ellor circunstantie - libro 4^o

Dato il diametro numero polo peso e corda si cercha il motore
Dato il numero polo peso corda e motore_________ il diamitro
Dato il polo peso corda motore e diamjtro_________ il numero
Dato il peso corda motore diametro e numero________ il polo
Dato la corda motore diametro numero e polo_________ il peso
Dato il motore diamjtro numero polo e peso _________ la corda

As Kenneth Keele has noted in his edition of the Corpus of Anatomical Drawings in the Collection of Her Majesty the Queen (1977-1980) there are related passages on CA 381^r, Mad. I 4^v, Forst. II and B 70^v.

307.

Ibid.:

Lequalj cose dette sono 6 ora esenda 5 ericerchasi la natura della sessta la quale invero essottile invesstichatione e nonsi fara maj sanza la sua teoricha coe della difinjtione della 4 potentie come peso forza moto e percussione.

A skeptical reader might insist that all of the above passages are exceptions to a lack of rule in Leonardo. To establish that this pattern is more basic to Leonardo it may be useful simply to cite in chronological order other obvious examples in the Codex Atlanticus. On CA 69^rb (192^r, 1502), for instance, we find a mathematical list in terms of different kinds of square roots:

rotti per rotti
sani e rotti per rotti
sani e rotti per sane rotti
sani e rotti per rotti
rotti per sani e rotti
sani e rotti per sani
sani per sani e rotti
sani per rotti
rotti per sani

On CA165^va (449^r, 1500-1505) Leonardo makes a list involving moving objects:

Retto il moto del motore e circulare il mobile
Circulare il motore e retto il mobile
Circulare il motore e l'mobile
Retto il motore e'l mobile: quandoil caval tira da barca.

On CA 241^vb (657^v, c. 1513) there is a list involving another of Leonardo's four powers:

Del percosso immobile
Del percosso veloce quanto il percussore
Del percosso men veloce che'l percussore
Della percussion del circunvolubile colla parte incidente
Della percussion del circunvolubile colla parte refressa

On CA 182^rc (499^r, 1517-1518) Leonardo applies this method of playing with variables to transformational geometry:

Le parte d'un tutto diviso in parte rifanno il loro tutto essendo infra loro ricongiunte
Le parte d'un tutto, rincongiunte a tutte le lor parte, sempre rifanno il lor tutto
Le parte d'un tutto diviso in parte, essendo ricongiunte, rifanno il lor tutto

In addition to the above there are also lists such as those on CA 29^rb (82^r, 1499-1500), CA 202^vb (542^r, c. 1500), CA 105^ra (290^r, c. 1500), CA 79^va (214^av, 1505-1506) which are not entirely systematic. There are also systematic listings of multiplication tables as on CA 110^va (307^v, 1517-1518) and of geometrical proportion, which I have discussed in Leonardo Studies I, as in note 32, pp. 240-277.

308.

See note 305.

309.

W 19060^r (K/P 153^r):

Delle machine
Perche natura non puo dare moto allianjmalj sanza strumenti machinali chome prima sidjmosstra in quessto libro nellopere motive daessa natura fatta nelli animali e per questo io ho chonposto le reghole nelle 4 potentie dj natura sanza lequali niente per essa po dare moto lochale a essi animali.

310.

W 19070^v (K/P 113^r): "il libro della scientia delle machine va inanzi al libro degovamenti. fa legare litua libri dj novo."

7. PLANS FOR PUBLICATION

311.	CA 391^ra, (1082^r, c. 1482): "farmi intender da vostra excellenzia, aprendo a quella di secreti mei."
312.	CA 102^ra (279^v, c. 1503-1505): "Fa la segreta."
313.	Cf. the drafts of a letter to Giuliano de'Medici on CA 247^vb (671^r, c. 1514-1515) and 283^ra (768^r, c. 1515) and 182^vc (500^r, c. 1515) and 92^rb (252^r, c. 1514-1515). These are translated in The Literary Works of Leonardo da Vinci, ed. Jean Paul Richter, London: Phaidon, 1970, vol. 2, pp. 336-339.
314.	CA 104^rb (289^r, c. 1493-1495): "A di primo d'Agosto 1499 scrissi qui de moto e peso."
315.	CA 375^rc (1047^r, c. 1513-1514): "Fa domane figure discendenti infrall'aria, di varie forme di cartone, cadenti dal nostro pontile; e poi disegna le figure e li moti, che fanno li discensi di ciascuno in varie parte del discenso."
316.	M 38^r: "sperientia di domane." Cf. 220^ra (VII 591^r, 1506-1508): "Vedi domattina se l'uccello che gira venendo conto al vento."
317.	Mad. II 157^v: "Qui si fara ricordo di tucte quelle cose le quali fieno al proposito del cavallo de bronzo del quale al presente sono inn opera."
318.	CA 214^rd (571^ar, c. 1507-1508): "Vedi doman tutti questi casi e li copia e po'cancella li originali e lasciali a Firenze, acci� che se si perdesse quelli che tu parti con teco che non si perda la invenzione."
319.	Mad. I 6^r: Legimi lettore setti diletti di me, perch� son rarissime volte rinata al mondo. Perch� la patientia di tale professione si trova in pochi che vogliono di novo riconpore simile cose di novo. E venite e omini e vedere i miracoli che per questi tali studi si scopre nella natura. Cf. Mad. I 0^r: "Petitione ch'io dimando a'mia lettori."
320.	CA 108^ra (299^r, c. 1508): "De moto e peso... Ma intendi, lectore, che in questo casu s'a (sa) a fare conto coll'aria."
321.	^CA 119^va (327^v, c. 1490): Or guarda, lettore, quello che noi potremo credere ai nostri antichi i quali anno voluto difinire che cosa s[ia a]nima e vita, cose inprovabili q[uando] quelle che con isperienzia ognora si possono chiaramente conoscere e provare sono per tanti seculi ignorate e falsa mente credute.
322.	CA 268^va (723^v, c. 1493-1495): "Io richiedo a te, lettore, quando io nomino trave, che tu intenda io volere dire perso d'equale lunghezza e d'equale peso, cio� corpo, che � lunghezza d'equale peso e grossezza."
323.	CA 145^va-vb (393^v, c. 1500): "Al Diodario di Soria, loco tenente del sacro Soltano di Babilonia....Non ti dolere, o Diodario, del mio tardare a dar risposta alla tua desiderosa richiesta."
324.	Mad. I 152^v: "Io ricordo a te conponitore di strumenti."
325.	BN 2038 10^r: "Il pittore debbe prima....sempre il pittore debbe chonsiderare."
326.	BN 2038 2^r: "Adunque chonosciendo tu pittore."
327.	BN 2038 27^v: "quando tu disegniatore vorai fare bono e utile studio."
328.	BN 2038 21^v: "Quando vorete ovoi disegnatiori."
329.	BN 2038 19^v: "Se voi storiografi opoeti oaltri matematici nonnavessi visto le cose male."
330.	W 19075^r (K/P 179^r): "ho sspechulatore dj questa nosstra machina non ti contristara perche collaltrui morte tu ne dja notitia ma rallegrati che il nostro altore abbia fermo lo intelletto a ttale ecellentja djstrumento."
331.	E 18^v: "Richordati opictore chettanto son varie le osscurita dellonbre."
332.	E 19^v: "O pictore natomista."
333.	G 47^r: "Ho sspechulatore del le chose nonti laldaro di conossciere le cose che ordinariamen te perse medesima la natura... chontucie. Ma rallegrati dicho nossciere il fine di quellelle chose che son disegniate dalla mente tua."
334.	CA 384^ra (1062^r, c. 1493-1495): "Io dissi nella la conclusione come la percussione...Ora tu da te sperimenta il bastone."
335.	Mad. I 149^r: "Io ti dimando." On occasion we find a more complex relationship where Leonardo uses a dialogue form with the reader as on CA 211^rb-vc (VII 562^r, 1495-1497): Io voglio sol vedere il peso col quale tu, appicandolo in mezzo alla equidiacente aste, le dai certa pa<r>te di curvit�. Di poi tocca l'asta dove ti piace i io ti dir� che peso bisogna appiccare in essa parte a volere dare la medesima curvatura a essa aste. In addition he has a dialogue in indirect speech in the form "the adversary says...to which it is replied," which derives from mediaeval and ultimately classical sources. There is also the phrase "Tell me" (Dimmj) which occurs on numerous occasions as listed by Carlo Pedretti in his Commentary on Richter, London: Phaidon, 1977, vol. 2, pp. 310-311.
336.	W 19007^v (K/P 139^v): Ma per questo brevissimo modo di figurarli per diversi aspetti se ne dara piena e vera notitia e acco che tal benefitio chiodo allominj io insegno il modo di ristamparlo con ordjne e priego voj osucesori che llavaritia non vj cosstringha affare le stampe.
337.	Cf. CA 357^rf (991^v, 1480-1482), CA 358^rb (995^r, 1480-1482), and CA 372^rb (1038^r, c. 1497) which shows a moveable printing press.
338.	Mad. II 119^r: Del gittare in istampa questa opera. Metti la piastra di ferro di biaca a uovo e poi scrivi a mancina sgraffiando tal campo. Fatto quessto e ttu metti di vernice ogni cosa, cio� vernice e giallolino o mmin[i]o. E sseco che �, metti i'molle, e'l campo delle lettere fondato sulla biaca a uovo fia quello che ssi lever�insieme col minio, il quale, per esser frangibile, si romper� e llascier� le letteri apicate al rame. E poi cava il canpo con modo tuo e tti rimar� le letere di rilievo e'l canpo basso. E po� ancora mistare il minio con pece greca e cos� calda darla, come di sopra dissi, e sar� pi� frangibile. E perch� meglio si veghino de lettere, tigni la piastra col fumo del zolfo che ss'incorpora col rame. See Ladislao Reti, "Leonardo da Vinci and the graphic arts: the early invention of relief-etching," Burlington Magazine, London, vol. CXIII, n. 817, April 1971, pp. 188-195. Another clear reference to Leonardo's acquaintance with printing methods is found in CA 263^va (710^br, 1510-1515): "E se tu li volessi gittare di piombo ovver della materia che si gittano le lettere da stampa, li pezzi sarebbono il medesima di sopra." Cf. CA 83^vb (226^v, c. 1508): "Stampala a corpo premanente, a parte a parte facendo tale lista d'un pezzo."
339.	Vasari, as in note 72, vol. 2, p. 157.
340.	Leonardo da Vinci, Trait� de la peinture, trans. Roland Fr�art de Chambray, Paris: Impr. de I. Langlois, 1651.

8. INFLUENCE

341.	Triv. 28^r: "notta." Cf. Triv. 36^r: "del sono del martello con la incudine."
342.	Triv. 8^r: "architettura notta."
343.	Triv. 37^r: "notto de laacqua."
344.	Triv. 38^v: "notta di pittura" and Triv. 39^r: "pittura notta."
345.	Triv. 53^v: "di bataglia nota."
346.	Forster I 3^r: "hoc est libro intitolato de trasformatione coe d'un corpo n'un altro senza diminutione o accrescimento di materia."
347.	Forster II 64^r as in note 47.
348.	Forster II 2^r, 3^v, 7^v, 24^v, 30^v.
349.	Forster II 160^v: "N.B. Haec scriptum inversa et in speculo legenda est."
350.	Forster III 1^r.
351.	Forster III 2^v, 13^v, 32^r, 36^v-37^r, 40^v, 48^r-47^v.
352.	See: B 5^v, 6^r, 7^v, 8^r, 10^r, 10^v, 11^r, 11^v, 15^v, 20^r, 21^r, 23^v, 26^v, 29^v, 34^r, 36^v, 38^r, 47^v, 49^v, 50^v, 51^v, 52^v, 53^r, 53^v, 54^r, 54^v, 55^v, 56^r, 57^r, 57^v, 58^v, 62^r, 62^v, 64^r, 64^v, 65^r, 65^v, 66^r, 68^v, 71^r, 72^v, 75^v, 76^r, 81^r, 81^v, 88^v, 89^r, 90^v. This adds a new context to the remarks of Giorgio Vasari, The Lives of the painters sculptors and architects, trans. A.B. Hinds, London: Dent, (1927) 1963, vol. 2, p. 157: "Many designs for these notions [of engineering] are scattered about and I have seen numbers of them" and p. 163 "he wrote notes in curious characters, using his left hand, so that it cannot be read without practice and only at a mirror...Whoever succeeds in reading these notes of Leonardo will be amazed to find how well that divine spirit has reasoned."
353.	On the problem of D�rer copying from Leonardo's W12613 in the Dresden Sketchbook, fol. 130^v and 133^v, see A Weixg�rtner in Mitteilungen der Gesellschaft f�r vervielf�ltigende Kunst, vol. II, 1906, pp. 25-26 and Lord Kenneth Clark's edition of The Drawings at Windsor Castle, London: Phaidon, 1968, vol.1, pp. 126-127.
354.	See: Marilene Putscher, "Ein Totentanz von Titian: die 17 grossen Holzschnitte zur Fabrica Vesals (1538-152)", Metanocite, 1984, 23-40. This dicusses a work entitled: Notomie di Titiano. The National Union Catalogue, vol. 65, p.378. lists an edition of c.1650 edited by Domenico Maria Bonavera noting that: Bonavera includes the 3 skeletal plates and the 14 muscle plates (without description) re-engraved on copper from Calcar's work for the Fabrica of Vesalius and presents them as the work of Titian.
355.	Carlo Pedretti, Commentary [on Jean Paul Richter, The Notebooks...], London: Phaidon, 1980, pp. **
356.	Ibid., pp.**
357.	Cf. Carlo Pedretti, Documenti e memorie riguardanti Leonardo da Vinci a Bologna e in Emilia, Bologna: Editoriale Fiammenghi, 1953.
358.	Claude de Boissi�re Delphinois, L'art d'arithm�tique contentant toute dimension tant pour l'art militaire que par la g�om�trie et autres calculations, revue et augment�e par Lucas Tremblay, Paris: Guillaume Cavellat, 1561, particularly pp. 53^r, 72^v.
359.	Abel Foullon, Usaige et description de l'holometre pour scavoir mesurer toutes choses qui sont soubs l'estendue de l'oeil, Paris: P. B�guin, 1555.
360.	Fabrizio e Gaspare Mordente, Il compasso, Antwerp: Plantin, 1584. These developments will be explored at greater length in the author's Mastery of Quantity.
361.	CA 157^vb (425^v), 358^ra (1064^r), 248^ra (672^r). Cf. notes 190-191 above. For further evidence of the proportional compass in a manuscript dated 1509 cf. Anonymous, Breve corso di matematica, Modena, Biblioteca estense, Ms. It. 211=a.W.6.22.h.
362.	Hans Lencker [attributed to], Perspectiva, Chicago, Newberry Library, Ms.B 128, particularly fol. 55^v. Cf. the Landgraf of Hesse's instrument in: Wilhelm IV, Landgraf Hessen, (attributed to), Circini proportionalis descriptio, Biblioteca apostolica Vaticana, Reg. lat. 1149, fol. 2^r: 1. Datam rectam lineam iuxta datam proportionem dividere 2. Datam lineam circularem in propositas partes secare 3. Datam superficiem in similem superficiem multiplicare aut minuere 4. Datam corpus in simile corpus multiplicare aut minuere 5. Rationem cuiuslibet diametri ad suam circumferentiam invenire 6. Superficiem circularem aut quadratam in aliam transferre 7. Datum globum et quinque corpora regularia in sese invicem transferre.
363.	Levinus Hulsius, Dritter Tractat der mechanischen Instrumenten Levini Hulsii, Beschreibung und Unterricht dess Jobst Burgi Proportional Circkels... Frankfurt: Levini Hulsii, 1604; Philip Horcher, Libri tres in quibus primo constructio circini proportionum edocetur, Mainz: Apud Balthasarum Lippium, 1605.
364.	Benjamin Bramer, Bericht und Gebrauch eines Proportional Linials neben kurtzem Underricht eines Parallel Instruments, Marburg: P. Egenolff, 1617.
365.	Cf. Ivo Schneider, Der Proporzionalzirckel. Ein universelles Analogrecheninstrument der Vergangenheit, M�nchen: Oldenbourg Verlag, 1970 (Deutsches-Museum. Abhandlungen und Berichte. 38 Jg., 1970, Heft 2).
366.	Concerning Coignet see Paul Lawrence Rose, "Origins of the Proportional Compass from Mordente to Galileo", Physis, Florence, vol. 10, no. 1, 1968, pp. 53-69.
367.	Galileo Galilei, Le operazione del compasso geometrico e militare, Padua: Casa dell'Autore, Per Pietro Marinelli 1606. On Galileo see: Stillman Drake, "Galileo and the First Mechanical Computing Device," Scientific American, New York, vol. 234, no. 4, April 1976, pp. 104-133.
368.	This evidence has been considered in detail in the author's Leonardo Studies II, as in note 50. For a standard view on the history of the telescope see: Albert van Helden, The invention of the telescope, Philadelphia: American Philosophical Society, 1977. (Transactions of the American Philosophical Society , vol. 67, n.4, 1977).
369.	See, for instance, Giacomo Barozzi il Vignola, Le due regole della prospettiva pratica, ed. E. Danti, Rome: Zanetti, 1583, Prob. XI, Prop. XL, p.49: Perche oltre alle descrittione delle figure rettilinee, apporta gran commodita al prospettivo saperle trasmutare d'una nell'altra, ho voluto in queste tre seguenti propositioni mostrare il modo secondo la via commune non solamente di trasmutare il circolo e qual si voglia figura rettilinea in un altra, ma ancho di accrescerle e diminuirle in qual si voglia certa proportione, accio in questo libro di prospettiva habbia tutto quello, che a cosi nobil pratica si fa mestiere. It is instructive to note that Leonardo's verb for transformation (trasmutare) is also used by Danti.
370.	For examples see Edmond R. Kiely, Surveying instruments, their history and classroom use, New York: Bureau of Publications, Teachers College, Columbia University, 1947 (National Council of Teachers of Mathematics, Yearbook 19). For the underlying philosophy see the author's "Mesure, quantification et science," in: L'Epoque de la Renaissance, 1400-1600, Budapest: Akademiai Kiado, vol. 4, 199? (in press).
371.	For an introduction to the context at Kassell see: L. von Mackensen, Die erste Sternwarte Europas mit ihren Instrumenten und Uhren, 400 Jahre Jost B�rgi in Kassel, Munchen: Callwey Verlag, 1982, particularly pp. 89-114. For two standard works see Klaus Maurice, Die Deutsche R�deruhr, M�nchen: Beck, 1976; Klaus Maurice und Otto Mayr, Die Welt als Uhr: Deutsche Uhren und Automaten 1550-1650, M�nchen: Deutscher Kunstverlag, 1980. For more specialized studies see: Hans von Bertele-Grenadenberg, "Eine mechanische Mondanomaliendarstellung auf Basis der copernicanischen Sekund�ren Epizyklen", Der Globusfreund, Nr.21-23, 1973, S.162-168; John H. Leupold, Die grosse astronomische Tischuhr des Johann Reinhold, Augsburg 1581 bis 1592, Luzern, 1974.

9. LIMITATIONS

372.	See notes 2, 3 and 6.
373.	CA 333^v (909^r, c. 1485-1487): "Non insegnare e sarai solo eccellente."

10. HISTORIOGRAPHY

374.	William Whewell, History of the inductive sciences from the earliest to the present time, London: J.W. Parker, 1837.
375.	On this and the complex religious, political and social context of the time see R.N.D. Martin, "The genesis of a mediaeval historian: Pierre Duhem and the origin of statics," Annals of science, London, vol. 33, 1976, pp. 119-129.
376.	Pierre Duhem, Les origines de la statique, Paris: A. Hermann, 1905-1906, vol. 1, p. 192: "Il n'est, dans l'oeuvre m�canique de L�onard de Vinci, aucune id�e essentielle qui ne soit issue des g�om�tres du moyen age et, particuli�rement du trait� de ce grand m�canicien que nous avons nomm� le Pr�curseur de L�onard." Duhem subsequently published �tudes sur Leonard de Vinci. Ceux qu'ils a lus et ceux qui l'ont lu. Paris: A. Hermann, 1906-1913, 3 vol. His most comprehensive treatment was in the Syst�me du monde, Paris: Hermann, 1913-1959, 10 vol.
377.	Important in this context was Anneliese Maier, Studien zur Naturphilosophie der Sp�tscholastik, Rome: Edizioni di storia e litteratura, 1951-1955, 3 vol.
378.	George Sarton, Introduction to the history of science, Baltimore: Pub. for the Carnegie Institute by Williams and Wilkins, 1927-1931 [i.e. 1950] 3 vol. in 5. Particularly II, pt. 1-2, III, pt. 1-2.
379.	Lynn Thorndike, A history of magic and experimental science, New York: Macmillan, 1923-1958. 8 vol. particularly vol. 2-3.
380.	Francis S. Benjamin Jr.'s most important contribution was establishing the Benjamin Data Bank of medieval scientific manuscripts now directed by Professor Wesley Stevens (Winnipeg).
381.	Marshall Clagett, The Science of mechanics in the middle ages, Madison: University of Wisconsin Press, 1959.
382.	Leonard Olschki, Geschichte der neusprachlichen-wissenschaftlichen Literatur, Heidelberg: Winter, 1919-1922, 2 vol.
383.	Betrand Gilles, Les ing�nieurs de la renaissance, Paris: Hermann, 1964.
384.	Edgar Zilsel, "The sociological roots of science," American journal of sociology, Chicago, vol 47-48, no. 4, 1942, pp. 544-562.
385.	Ibid., p. 544.
386.	Ibid.
387.	Ibid., p. 561.
388.	Stillman Drake and I.E. Drabkin, Mechanics in sixteenth century Italy, Madison: University of Wisconsin Press, 1969.
389.	Cassirer, as in note 3187, pp. 48-51.
390.	Ibid., p. 163.
391.	Erwin Panofsky, Idea, Ein Beitrag zur Begriffsgeschichte der �lteren Kunsttheorie, Studien der Bibliothek Warburg, V, ed. Fritz Saxl, Leipzig: B. G. Teubner, 1924.
392.	Giorgio De Santillana, "The role of art in the scientific Renaissance," Critical problems in the history of science, ed. M. Clagett, Madison: University of Wisconsin Press, 1969, pp. 33-65.
393.	There has been an incredible explosion of literature on Brunelleschi, particularly in terms of the science-art connection. For a recent bibliography see: Corrado Bozzoni, Giovanni Carbonara, Filippo Brunelleschi, Saggio di una bibliografia, Rome: Universit� degli studi, Istituto di fondamenti dell'architettura, 1977.
394.	Ernst Cassirer, Substance and Function, trans. William Curtis Swabey, Marie Collins Swabey, Chicago: Open Court Publishing Company, 1923 (New York: Dover Publications, 1953).
395.	Edwin Arthur Burtt, The Metaphysical foundations of modern science, New York: Doubleday and Co., 1924. Cf. particularly p. 28 re:Cassirer.
396.	Edward W. Strong, Procedures and metaphysics, Berkeley: University of California Press, 1936, pp. 10-11.
397.	For an introduction to some leading exponents of the two factions see: George Basalla, ed., The Rise of modern science, external or internal factors, Lexington (Mass.): D.C. Heath and Co., 1968.
398.	Alistair Crombie, Robert Grosseteste and the origins of experimental science, 1100-1700, Oxford: Clarendon Press, 1953.
399.	Marie Boas, The Scientific renaissance, 1450-1630, New York: Harper and Row, 1962 (Rise of modern science, vol. II).
400.	Alexandre Koyr�, Metaphysics and measurement. Essays in the scientific revolution, trans. R.E.W. Maddison, London: Chapman and Hall, 1968.
401.	Alexandre Koyr�, Etudes galil�ennes, Paris: A. Hermann, 1939, 3 vol.; Ibid., The astronomical revolution, trans. R.E.W. Maddison, Paris: A. Hermann, 1973.
402.	Thomas S. Kuhn, The Copernican revolution: planetary astronomy in the development of western thought, Cambridge, Mass: Harvard University Press, 1957.
403.	Thomas S. Kuhn, The structure of scientific revolutions, Chicago: University of Chicago Press, 1962 (2^nd ed. 1970).
404.	John Hermann Randall, Jr., "The place of Leonardo da Vinci in the emegence of early modern science" in: Roots of scientific thought, ed. P. Wiener, A. Noland, New York: Basic Books, 1957, pp. 207-218.

11. CONCLUSIONS

405.	Pietro Accolti, Lo inganno de gl'occhi, Florence: Pietro Cecconcelli 1625, p. 116 where Witelo is called "unico, & principal capo della scuola de perspettivi."
406.	Luca Pacioli, as in note 1, p. 33.
407.	It is striking that notwithstanding the monumental work of Ernst Zinner, Deutsche und niederl�ndische astronomische Instrumente des 11-18 Jahrhunderts, M�nchen: Beck, 1972, which dealt mainly with astronomy, but touched on manuscripts on surveying, gauging and related fields, we still have no proper census even of the source materials. The same is true with respect to instruments although a great contribution has been made through the team led by Helmut Minow, Historische Vermessungsinstrumente. Ein Verzeichnis der Sammlungen in Europa, Wiesbaden: Chmielorz Gmbh, 1982. For an excellent survey of gauging literature another of the important themes see: Menso Folkerts, "Die Entwicklung und Bedeutung der Visierkunst als Beispiel der praktischen Mathematik der fruhen Neuzeit," Humanismus und Technik, Berlin, Bd. 18, Heft 1, 1974, pp. 1-41.